《高等数学B》考试大纲

I.                 考试要求

适用专业：报考国际经济与贸易、会计学、金融学和工商管理专业的考生

《高等数学B》考试大纲包含微积分、线性代数和概率论三个部分。

考试的具体要求依次为了解、理解和掌握、灵活和综合运用三个层次。

1．   了解：要求对所列知识的含义有基本的认识，知道这一知识内容是什么，并在有关的问题中识别它。

2．   理解和掌握：要求对所列知识内容有较深刻的理论认识，能够利用知识解决有关问题。

3．   灵活和综合运用：要求系统地掌握知识的内在联系，能运用所列知识分析和解决较为复杂的或综合性的问题。

II.              大纲内容

《微积分》部分

一、函数、极限、连续

考试内容：

函数的概念及表示法/函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性/反函数、复合函数、隐函数、分段函数/基本初等函数的性质及图形/初等函数/数列极限与函数极限的概念/函数的左极限和右极限/无穷小和无穷大的概念及关系/无穷小的基本性质及无穷小阶的比较/极限四则运算/两个重要极限/函数连续的概念/函数间断点的类型/初等函数的连续性/闭区间上连续函数的性质

考试要求：

1．理解函数的概念，掌握函数的表示法。

2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

3．理解复合函数、反函数、隐函数和分段函数的概念。

4．掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。

5．会建立简单应用问题中的函数关系式。

6．了解数列极限和函数极限（包括左、右极限）的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。

7．掌握极限的性质与极限四则运算法则。掌握利用两个重要极限求极限的方法。

8．理解无穷小、无穷大的概念和基本性质，掌握无穷小的阶的比较方法。

9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值与最小值定理和介值定理）并会应用这些性质。

二、一元函数微分学

考试内容

导数和微分的概念/导数的几何意义/函数的可导性与连续性之间的关系/导数的四则运算/基本初等函数的导数/复合函数、反函数和隐函数的导数/高阶导数/某些简单函数的n 阶导数/微分中值定理及其应用/洛必达法则/函数单调性/函数的极值/函数图形的凹凸性、拐点/函数斜渐近线和铅直渐近线/函数图形的描绘/函数的最大值与最小值

考试要求

1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义。

2. 掌握用定义法求函数导数值；熟练掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则；熟练掌握反函数与隐函数求导法以及对数求导法。

3.了解高阶导数的概念，会求二阶、三阶导数及较简单函数的n 阶导数。

4.理解微分的概念，导数与微分之间的关系。

5.理解罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的条件和结论，掌握这三个定理的应用及相关证明题。

6.熟练掌握洛必达法则求不定式极限的方法。

7. 熟练掌握函数单调性的判别方法及其应用，熟练掌握极值、最大值和最小值的求法（含应用题）。

8. 熟练掌握曲线凹凸性和拐点的判别方法，以及曲线的斜渐近线和铅直渐近线的求法。

9. 熟练掌握函数作图的基本步骤和方法，会作某些简单函数的图形。

三、一元函数积分学

考试内容

原函数与不定积分的概念/不定积分的基本性质/基本积分公式/不定积分的换元积分法和分部积分法/定积分的概念和基本性质/积分中值定理/变上限积分函数及其导数/牛顿一莱布尼茨公式/定积分的换元积分法和分部积分法/广义积分的概念和计算/定积分的应用

考试要求

1．理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式；熟练掌握计算不定积分的换元积分法和分部积分法。

2．了解定积分的概念和基本性质。熟练掌握牛顿一莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法。掌握变上限积分函数的求导公式和含有此类函数的复合求导公式。

3．会利用定积分计算平面图形的面积和绕x轴、绕y轴而成的旋转体体积，会利用定积分计算函数的平均值。

4．了解广义积分收敛与发散的概念和条件，掌握计算广义积分的换元积分法和分部积分法。

四、多元函数微积分学

考试内容

多元函数的概念/二元函数的几何意义/二元函数的极限与连续性/偏导数的概念与计算/多元复合函数的求导法/隐函数求导法/高阶偏导数/全微分/多元函数的极值和条件极值、多元函数的条件最值应用问题/二重积分的概念、基本性质和计算/无界区域上简单二重积分的计算

考试要求

1．了解多元函数的概念，了解二元函数的表示法与几何意义。

2．了解二元函数的极限与连续的直观意义。

3．了解多元函数偏导数与全微分的概念，掌握求复合函数偏导数和全微分的方法，会用隐函数的求导法则。

4．了解二元函数极值和条件极值的概念，掌握二元函数极值存在的必要条件和充分条件。掌握二元函数的极值计算方法。掌握拉格朗日乘数法求条件极值方法。会求二元函数的最大值和最小值，掌握求解一些无条件最值或条件最值应用问题。

5．了解二重积分的概念与基本性质，熟练掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法。会计算无界区域上的较简单的二重积分。

五、无穷级数

考试内容

常数项级数收敛与发散的概念/收敛级数的和的概念/级数的基本性质与收敛的必要条件/几何级数与P级数的收敛性/正项级数敛散性的判别法/任意项级数的绝对收敛与条件收敛/交错级数/莱布尼茨定理/幂级数的概念/收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域/幂级数的和/函数幂级数在收敛区间内的基本性质/幂级数的和函数的求法/初等函数的幂级数展开式

考试要求

1．了解级数的收敛与发散、收敛级数的和等概念。

2．掌握级数收敛的必要条件及收敛级数的基本性质。掌握几何级数及P 级数的收敛与发散的条件。掌握正项级数的比较判别法（不等式形式和极限形式）和达朗贝尔（比值）判别法。

3．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，掌握交错级数的莱布尼茨充分判敛法，掌握绝对收敛与条件收敛的判别方法。

4．会求幂级数的收敛半径和收敛域。

5．了解幂级数在收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些简单幂级数的和函数。

6．掌握  和  的幂级数展开式，并会利用这些展开式将一些简单函数间接展成幂级数。

六、常微分方程

考试内容

微分方程的概念/微分方程的解、通解、初始条件和特解/变量可分离的微分方程/齐次方程/一阶线性方程/二阶常系数齐次线性方程及简单的非齐次线性方程/微分方程的简单应用

考试要求

1．了解微分方程的阶、通解、初始条件和特解等概念。

2．掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法。

3．会解二阶常系数齐次线性微分方程和自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与乘积的二阶常系数非齐次线性微分方程。

4．会应用微分方程求解一些简单的经济应用问题.

《线性代数》部分

一、行列式

考试内容

行列式的概念和基本性质  行列式按行（列）展开定理

考试要求

1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质。

2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。

二、矩阵

考试内容

矩阵的概念 / 矩阵的线性运算 / 矩阵的乘法 / 方阵的幂  / 方阵乘积的行列式 / 矩阵的转置 / 逆矩阵的概念和性质 / 矩阵可逆的充分必要条件 / 伴随矩阵 / 矩阵的初等变换 / 初等矩阵 / 矩阵的秩 / 矩阵的等价 / 分块矩阵及其运算

考试要求

1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、对角矩阵、数量矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质。

2．掌握矩阵的线性运算、乘法，以及它们的运算规律，掌握矩阵转置的性质，了解方阵的幂，掌握方阵乘积的行列式的性质。

3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。

4．了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，会用初等变换求矩阵的逆和秩。

5．了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则。

三、向量

考试内容

向量的概念 / 向量的线性组合与线性表示 / 向量组的线性相关与线性无关  向量组的极大线性无关组 / 等价向量组 / 向量组的秩 / 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 / 向量的内积 / 线性无关向量组的正交规范化方法

考试要求

1、了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则。

2、了解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向量组

线性相关、线性无关的有关性质及判别法。

3、理解向量组的极大线性无关组的概念，掌握求向量组的极大线性无关组的方法。

4、了解向量组等价的概念，理解向量组的秩的概念，了解矩阵的秩与其行（列）向量

组的秩之间的关系，会求向量组的秩。

5、了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特方法。

四、线性方程组

考试内容

线性方程组的克莱姆法则 / 线性方程组有解和无解的判定定理 / 齐次线性方程组的基础解系和通解 / 非齐次线性方程组的解与相应的齐次线性方程组（导出组）的解之间的关系 / 非齐次线性方程组的通解

考试要求

1．     会用克莱姆法则解线性方程组。

2．掌握线性方程组有解和无解的判定方法。

3．理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的方法。

4．理解非齐次线性方程组的基础解系的求法，会用其特解及相应的导出组的基础解系表示非齐次线性方程组的通解。

五、矩阵的特征值和特征向量

考试内容

矩阵的特征值和特征向量的概念、性质  相似矩阵的概念及性质  矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵  实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵

考试要求

1．     解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法。

2．     理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对象矩阵的方法。

3．     了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。

六、二次型

考试内容

二次型及其矩阵表示 / 合同变换与合同矩阵 / 二次型的秩 / 惯性定理  /二次型的标准形和规范形 / 正交变换 / 用正交换和配方法化二次型为标准型  / 二次型及其矩阵的正定性

考试要求

1．了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换和合同矩阵的概念。

2．了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理的条件和结论，会用正交变换和配方法化二次型为标准形。

3．理解正定二次型、正定矩阵的概念，掌握正定矩阵的性质。

《概率论》部分

一、随机事件和概率

考试内容

随机事件与样本空间 / 事件的关系与运算 / 完全事件组 / 概率的概念  /概率的基本性质 / 古典型概率 / 几何型概率 / 条件概率 / 概率的基本公式  / 事件的独立性 / 独立重复试验

考试要求

1．了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件间的关系及运算。

2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握计算概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式，以及贝叶斯公式等。

3．理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法。

二、随机变量及其概率分布

考试内容

随机变量及其概率分布 / 随机变量的分布函数的概念及其性质 / 离散型随机变量的概率分布 / 连续型随机变量的概率密度 / 常见随机变量的概率分布  / 随机变量函数的概率分布

考试要求

1．理解随机变量及其概率分布的概念；理解分布函数 的概念及性质；会计算与随机变量相联系的事件的概率。

2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0—1分布、二项分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布及其应用。

3．掌握泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布。

4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布 、指数分布及其应用，其中参数为 的指数分布的密度函数为

5．会根据自变量的概率分布求其简单函数的概率分布。

三、二维随机变量及其联合概率分布

考试内容

二维随机变量的联合分布函数 / 离散型二维随机变量的联合概率分布、边缘分布和条件分布 / 连续型二维随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度  / 随机变量的独立性和相关性 / 常见二维随机变量的概率分布 / 两个及两个以上随机变量的函数的概率分布

考试要求

1．   理解二维随机变量的联合分布函数的概念和基本性质。

2．     理解二维随机变量的联合分布的概念、性质及其两种基本表达形式：离散型二维随机变量联合概率分布和连续型二维随机变量联合概率密度。掌握两个随机变量的联合分布的边缘分布和条件分布。

3．     理解随机变量的独立性和相关性的概念，掌握随机变量独立的条件；理解随机变量的不相关性与独立性的关系。

4．   掌握二维均匀分布和二维正态分布，理解其中参数的概率意义。

5．   会根据两个随机变量的联合概率分布求其函数的概率分布；会根据多个独立随机变量的概率分布求其简单函数的概率分布。

四、随机变量的数字特征

考试内容

随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质 / 随机变量函数的数学期望 / 切比雪夫不等式 / 矩、协方差、相关系数及其性质

考试要求

1、理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，并会运用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征，掌握常用分布的数字特征。

2、会根据随机变量的概率分布求其函数的数学期望；会根据两个随机变量联合概率分布求其函数的数学期望。

3、掌握切比雪夫不等式。

五、大数定律和中心极限定理

考试内容

切比雪夫大数定律 / 伯努利大数定律 / 辛钦大数定律 / 棣莫弗—拉普拉斯定理 / 列维—林德伯格定理

考试要求

1、了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量的大数定律）成立的条件及结论。

2、掌握棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）、列维—林德伯格中心极限定理（独立同分布随机变量列的中心极限定理）的结论和应用条件，并会用相关定理近似计算有关事件的概率。

III.          试卷形式及结构

    试卷采用闭卷、笔试形式。全卷满分为150 分，考试时间为 150 分钟。

试题分选择题、填空题、计算题、应用题和证明题五种题型。

选择题是四选一型的单项选择题；填空题只要直接填写结果，不必写出计算过程或推证过程；计算题、应用题和证明题均须写出文字说明、演算步骤或推证过程。

五种题型分值的百分比大致为：选择 、填空题 30 % 左右， 计算题 45 % 左右，应用题 17 % 左右， 证明题 8 % 左右。

试卷中微积分、线性代数和概率论三大部分内容的比例大致为：微积分 50 % ，线性代数 25 % ， 概率论 25 % 。